Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．

Answer

（1）见解析；（2）⊙O直径的长是4．

【解析】

（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC∽△BED，求出BD，即可得出结论．

证明：（1）连接BD，交AC于F，

∵DC⊥BE，

∴∠BCD＝∠DCE＝90°，

∴BD是⊙O的直径，

∴∠DEC+∠CDE＝90°，

∵∠DEC＝∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE＝90°，

∵弧BC=弧BC，

∴∠BAC＝∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∴BD⊥DE，

∴DE是⊙O切线；

【解析】
（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，

∴BD⊥AC．

∵BD是⊙O直径，

∴AF＝CF，

∴AB＝BC＝8，

∵BD⊥DE，DC⊥BE，

∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，

∴△BDC∽△BED，

∴＝，

∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，

∴BD＝4．

即⊙O直径的长是4．