Question

如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且EG、FH交于点O．若AC=4，则EG²+FH²=______．

Answer

16

【解析】

根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH．在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=4，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4=22，把等式进行变形，并把EG=2OE，FH=2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值．

∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，

∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，

EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，

根据三角形的中位线的性质知，EH=FGBD，EF=HGAC．

又∵AC=BD，

∴EH=FG=EF=HG，

∴四边形EFGH是菱形，

∴EG⊥FH，EG=2OE，FH=2OH．

在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=4，

等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=4×4=16，

∴（2OE）2+（2OH）2=16，

即EG2+FH2=16．

故答案为：16．