Question

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称     ；

（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形 OAMB 的顶点M 的坐标：     ；

（3）如图 2，将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°，得到△DBE，连接 AD、DC，∠DCB=30°．求证： DC²  BC²  AC² ，即四边形 ABCD 是勾股四边形；

（4）若将图 2 中△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 a 度（0°＜a ＜90°），得到△DBE，连接 AD、DC，则当∠DCB=     °时，四边形BECD 是勾股四边形．

Answer

（1）矩形（正方形）；（2）M（3，4）；M（4，3）；（3）详见解析；（4）α.

【解析】

（1）根据勾股四边形的定义，可知正方形、矩形直角梯形都是勾股四边形；
（2）如图1中，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）或（4，3）；
（3）如图2，连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题．
（4）如图3，当∠DCB= α，四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，根据△DCE是直角三角形求出∠DCB即可．

（1）矩形（正方形）

（2）M（3，4）；M（4，3）

（3）连接CE，∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE

∵∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形，

∴BC＝BE，∠CBE＝60°，∵∠DCB＝30°

∴∠DCE＝90°，∴DC２＋EC２＝DE２

∴DC２＋BC２＝AC２，即四边形ABCD是勾股四边形.

（4）如图 3, 当 ∠DCB=α ，四边形 ABCD 是勾股四边形.

理由：连接 CE ，

由旋转得： △ABC ≌ △DBE ，

∴AC=DE ， BC=BE ，

又 ∵∠CBE=α ，

∴∠BCE=∠BEC=90°−α ，

∴当∠DCB=α时，∠DCE=90° ，

∴DC2+EC2=DE2 .

∴ 即四边形BECD 是勾股四边形

故答案为：α.