Question

如图，RtΔABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，将ΔADC绕点A顺时针旋转90°后，得到ΔAFB，连接EF，下列结论：①ΔAED≌ΔAEF，②，③ΔABC的面积等于四边形AFBD的面积，④，⑤BE+DC=DE，其中正确的是（   ）

A. ①②④ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ①③⑤

Answer

B

【解析】

①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；

②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；

③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；

④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．

⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确．

①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；

故本选项正确；

②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；

∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD，∴；

当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似，即；

∴此比例式不一定成立，故本选项错误；

③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积，故本选项正确；

④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2．

∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD．

又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本选项正确；

⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，故本选项错误．

综上所述：正确的说法是①③④．

故选B．