Question

如图，在直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，△OBA是等腰直角三角形且AB=，线段PQ=1，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若P运动的路程为m，△OPA的面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（3）当点P运动一周时，点Q运动的总路程为______．

Answer

（1）A点的坐标为：（-1，0），B点的坐标为：（0，1）；（2）S与m之间的函数关系式为S=m（0＜m≤1），或S=+-m（1＜m＜+1）；（3）2．

【解析】

（1）由△OBA是等腰直角三角形且AB=，得出OA=OB=1，即可得出A、B两点的坐标；（2）分三种情况讨论：①当点P在OB边上时，由三角形面积公式即可得出结果；②当点P在AB边上时，作PD⊥OA于D，△APD是等腰直角三角形，则PB=m-1，求出AP的长，由等腰直角三角形的性质得出PD的长，由三角形面积公式即可得出结果；③当点P在AO边上时，△OPA不存在；（3）根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由O向左运动，路程为QO；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．

（1）∵△OBA是等腰直角三角形且AB=，

∴OA=OB=1，

∴A点的坐标为：（-1，0），B点的坐标为：（0，1）；

（2）分三种情况讨论：

①当点P在OB边上，即0＜m≤1时，如图1所示：

△OPA的面积S=OA×OP=×1×m=m；

②当点P在AB边上，即1＜m＜+1时，如图2所示：

作PD⊥OA于D，△APD是等腰直角三角形，

∵PB=m-1，

∴AP=AB-PB=-（m-1）=+1-m，

∴PD=AP=（+1-m）=1+-m，

∴△OPA的面积=OA×PD=×1×（1+-m）= +-m，即S=+-m；

③当点P在AO边上，即+1≤m≤+2时，△OPA不存在；

综上所述，S与m之间的函数关系式为S=m（0＜m≤1），或S=+-m（1＜m＜+1）；

（3）∵△OBA是等腰直角三角形，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∵OA=OB=1，PQ=1，

①当点P从O→B时，点Q运动的路程为PQ的长，即为1；

②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，

当点P从B→C时，

∵∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠OQC=90°-45°=45°，

∴AQ=PQ=，

∴OQ=AQ-OA=-1，

则点Q运动的路程为QO=-1；

③当点P从C→A时，点Q运动的路程为QO=-1；

④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，

∴点Q运动的总路程为：1+-1+-1+1=2；

故答案为：2．