Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝（　　）

A.  B.  C.  D. 2

Answer

D

【解析】

设⊙O与AB，AC，BC分别相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB＝10，再根据切线长定理得到AF＝AE，CF＝CG，从而得到四边形OFCG是正方形，根据正方形的性质得到设OF＝x，则CF＝CG＝OF＝x，AF＝AE＝6﹣x，BE＝BG＝8﹣x，建立方程求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即可求出最后结果．

设⊙O与AB，AC，BC分别相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，则

∠OGC＝∠OFC＝∠OED＝90°，

∵∠C＝90°，AC＝6 BC＝8，

∴AB＝10

∵⊙O为△ABC的内切圆，

∴AF＝AE，CF＝CG （切线长相等）

∵∠C＝90°，

∴四边形OFCG是矩形，

∵OG＝OF，

∴四边形OFCG是正方形，

设OF＝x，则CF＝CG＝OF＝x，AF＝AE＝6﹣x，BE＝BG＝8﹣x，

∴6﹣x+8﹣x＝10，

∴OF＝2，

∴AE＝4，

∵点D是斜边AB的中点，

∴AD＝5，

∴DE＝AD﹣AE＝1，

∴tan∠ODA＝＝2．

故选：D．