Question

在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

Answer

（1）；（2）存在，点P，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．

【解析】

（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；

（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；

（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴

∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）存在．

∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2．

连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．

则PM＝﹣m2﹣m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．

∵当x＝0时，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，

∴OC＝2，

∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO

＝AO•PM+CO•PN﹣AO•CO

＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2

＝﹣m2﹣3m

∵a＝﹣1＜0

∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值

∴当m＝﹣＝﹣时，S△PAC有最大值．

∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，

∴存在点P（﹣，），使△PAC的面积最大．

（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

在△Q1CD与△CBO中，

∵，

∴△Q1CD≌△CBO，

∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，

∴OD＝OC+CD＝3，

∴Q1（2，3）；

同理可得Q4（﹣2，1）；

同理可证△CBO≌△BQ2E，

∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，

∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，

∴Q2（3，1），

同理，Q3（﹣1，﹣1），

∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．