Question

在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，有下列结论：①AE∥BC；②∠ADE＝∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9．其中，正确结论的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

C

【解析】

由旋转的性质和等边三角形的性质易证∠BAE=∠ABC，，即可得AE∥BC，①正确；证明△BDE是等边三角形，可得 DE=BD=4，所以△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，可得③④正确．根据已知条件无法证明②正确.

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AC=BC=5.

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴∠BAE=∠C=60°，AE=CD.

∴∠BAE=∠ABC，

∴AE∥BC，所以①正确；

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴∠DBE=60°，BD=BE=4.

∴△BDE为等边三角形，所以③正确.

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°，∠ADE+∠BDC=180°-∠BDE=120°，

∴∠ADE<∠BDC,∴②一定不正确；

∵AE=CD，DE=BD=4，

∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+CD+DB=AC+BD=5+4=9，所以④正确．

故选C.