Question

已知，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，在CD的延长线上取一点P，PG与⊙O相切于点G，连接AG交CD于点F．

（Ⅰ）如图①，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小；

（Ⅱ）如图②，若E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA＝2，求PF的长．

Answer

（Ⅰ）∠GFP＝70°，∠AGP＝70°；（Ⅱ）PF＝4．

【解析】

（Ⅰ）连接OG，在Rt△AEF中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因为OA＝OG，所以∠OGA＝∠A＝20°，因为PG与⊙O相切于点G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝90°﹣20°＝70°．；

（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，证明△OAD为等边三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD＝30°，因为DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在Rt△AGB中可求得AG＝6，在Rt△AEF中可求得AF＝2，再证明△GFP为等边三角形，所以PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．

【解析】
（Ⅰ）连接OG，

∵CD⊥AB于E，

∴∠AEF＝90°，

∵∠A＝20°，

∴∠EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，

∴∠GFP＝∠EFA＝70°，

∵OA＝OG，

∴∠OGA＝∠A＝20°，

∵PG与⊙O相切于点G，

∴∠OGP＝90°，

∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．

（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，

∵E为半径OA的中点，CD⊥AB，

∴OD＝AD＝OA，

∴△OAD为等边三角形，

∴∠AOD＝60°，

∴∠AGD＝∠AOD＝30°，

∵DG∥AB，

∴∠BAG＝∠AGD＝30°，

∵AB为⊙O的直径，OA＝2，

∴∠AGB＝90°，AB＝4，

∴AG＝AB•cos30°＝6，．

∵OG＝OA，

∴∠OGA＝∠BAG＝30°，

∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，

∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，

∵∠AEF＝90°，AE＝，∠BAG＝30°，

∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，

∴△GFP为等边三角形，

∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．