Question

已知二次函数的最大值为4，且该抛物线与轴的交点为，顶点为.

（1）求该二次函数的解析式及点，的坐标；

（2）点是轴上的动点，

①求的最大值及对应的点的坐标；

②设是轴上的动点，若线段与函数的图像只有一个公共点，求的取值范围.

Answer

（1），点坐标为，顶点的坐标为；（2）①最大值是，的坐标为，②的取值范围为或或.

【解析】

（1）先利用对称轴公式x=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．

【解析】
（1）∵，

∴的对称轴为.

∵人最大值为4，

∴抛物线过点.

得，

解得.

∴该二次函数的解析式为.

点坐标为，顶点的坐标为.

（2）①∵，

∴当三点在一条直线上时，取得最大值.

连接并延长交轴于点，.

∴的最大值是.

易得直线的方程为.

把代入，得.

∴此时对应的点的坐标为.

②的解析式可化为

设线段所在直线的方程为，将，的坐标代入，可得线段所在直线的方程为.

（1）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.

∴当时，线段与函数的图像只有一个公共点.

（2）当线段过点，即点与点重合时，线段与函数的图像只有一个公共点，此时.

当线段过点，即点与点重合时，，此时线段与函数的图像有两个公共点.

所以当时，线段与函数的图像只有一个公共点.

（3）将带入，并整理，得.

.

令，解得.

∴当时，线段与函数的图像只有一个公共点.

综上所述，的取值范围为或或.