Question

如图，直线y=kx+8（k＜0）交y轴于点A，交x轴于点B．将△AOB关于直线AB翻折得到△APB．过点A作AC∥x轴交线段BP于点C，在AC上取点D，且点D在点C的右侧，连结BD．

（1）求证：AC=BC

（2）若AC=10．

①求直线AB的表达式．

②若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求AD的长．

（3）若BD平分∠OBP的外角，记△APC面积为S₁，△BCD面积为S₂，且=，则的值为______（直接写出答案）

Answer

（1）证明见解析；（2）①y=-x+8；②20或22；（3）.

【解析】

（1）由平行线的性质可得出∠BAC=∠ABO，由折叠的性质可知∠ABO=∠ABC，进而可得出∠BAC=∠ABC，由等角对等边即可证出AC=BC；

（2）过点B作BE⊥CD于点E．①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA的长度，进而可得出BE的长度，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出CE的长度，进而可得出OB，AE的长度，由OB的长度可得出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；

②分BC=DC及BC=BD两种情况考虑：当BC=DC时，由AC=BC=10，可求出AD的长度；当BC=BD时，利用等腰三角形的性质结合①的结论可求出CD的长度，进而可得出AD的长度．综上，此问得解；

（3）由折叠的性质结合三角形的面积公式可得出，设PC=2a，则CD=3a，易证△APC≌△BEC（AAS），由全等三角形的性质可得出CE=CP=2a，由角平分线的定义、平行线的性质结合等腰三角形的性质可得出CB=CD=AC=3a，在Rt△BCE中，CE=2a，进而可得出OB=5a，AD=6a，二者相比后即可得出的值．

（1）证明：∵AC∥x轴，

∴∠BAC=∠ABO．

由折叠的性质，可知：∠ABO=∠ABC，

∴∠BAC=∠ABC，

∴AC=BC．

（2）【解析】
过点B作BE⊥CD于点E，如图1所示．

①当x=0时，y=kx+8=8，

∴点A的坐标为（0，8），BE=OA=8．

在Rt△BCE中，BC=AC=10，BE=8，

∴CE==6，

∴OB=AE=AC+CE=16，

∴点B的坐标为（16，0）．

将点B（16，0）代入y=kx+8，得：0=16k+8，

解得：k=-，

∴直线AB的表达式为y=-x+8．

②当BC=DC时，AD=AC+CD=10+10=20；

当BC=BD时，由①可知：CD=2CE=12，

∴AD=AC+CD=10+12=22．

综上：AD的长为20或22．

（3）由折叠的性质，可知：AO=AP，∠APC=∠AOB=90°．

∵S△APC=AP•PC=AO•PC，S△BCD=CD•AO，OA=BE，

∴=，

设PC=2a，则CD=3a．

在△APC和△BEC中，

，

∴△APC≌△BEC（AAS），

∴PC=EC．

∵BD平分∠OBP的外角，CD∥x轴，

∴∠CBD=∠CDB，

∴CD=CB=3a．

在Rt△BCE中，CB=3a，CE=2a，

∴BE==a，

∴OB=AC+CE=CD+CE=5a，AD=AC+CD=2CD=6a，

∴．