Question

已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．

（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=______；

（2）如图1，若∠BOE=80°，则∠COF=______；

（3）若∠COF=m°，则∠BOE=______度；∠BOE与∠COF的数量关系为______．

（4）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（3）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．

Answer

（1）68°  (2) 40°  （3） 2m   ∠BOE=2∠COF;(4)成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据互余得到∠EOF=90°-34°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF，然后根据邻补角的定义即可得到∠BOE；

（2）设∠COF=n°，根据互余得到∠EOF=90°-n°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，然后根据邻补角的定义得到∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°=80°，于是得到结论；

（3）当∠COF=m°，根据互余得到∠EOF=90°-m°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2m°，然后根据邻补角的定义得到∠BOE=180°-（180°-2m°）=2m°，所以有∠BOE=2∠COF；

（4）同（3），可得到∠BOE=2∠COF．

【解析】
（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°，

∴∠EOF=90°-34°=56°，

∵OF平分∠AOE．

∴∠AOE=2∠EOF=112°，

∴∠BOE=180°-112°=68°；

（2）设∠COF=n°，

∴∠EOF=90°-n°，

∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，

∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°=80°，

∴∠COF=40°；

（3）当∠COF=m°，

∴∠EOF=90°-m°，

∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°，

∴∠BOE=180°-（180°-2m°）=2m°，

∴∠BOE=2∠COF；

（4）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下：

设∠COF=n°，

∵∠COE是直角，

∴∠EOF=90°-n°，

又∵OF平分∠AOE．

∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，

∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，

即∠BOE=2∠COF．

故答案为：（1）68° ；(2) 40° ；（3） 2m ，∠BOE=2∠COF ；(4)成立，理由见解析.