Question

（1）尝试探究

如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且.

①的值为多少；②直线与直线的位置关系；

（2）类比延伸

如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线 与直线的位置关系，并说明理由；

（3）拓展运用

若，，在旋转过程中，当，，三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长.

Answer

（1）①，②；（2）；，理由见解析；（3）或

【解析】

（1）①利用三角函数可求出CF=EC，AC=BC，再通过线段的差进行转化可得出AF=BE，即可得出答案；②根据，即可得出直线与直线的位置关系；

（2）先利用三角函数求出CF与EC，AC与BC的关系，再证出∽，利用相似的性质即可得出答案；

（3）根据题意可画出两种满足题意的图形，再利用（2）中的结论即可求出答案.

【解析】
（1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，EF//AB,

∴∠CFE=∠A=30°，

∴CF=EC，AC=BC，

∴AF=AC-CF=BC- EC=(BC-EC)= BE，

∴=，

②∵，

∴AF⊥BE；

（2）；

理由如下：由（1）及旋转的性质知，，，

在中，，

在中，；

，

又，

，，

∽，

.

如图，延长交于点，交于点，

∽，

，

，，

，

即；

（3）或