Question

尝试探究

如图-，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点E、F分别是BC、AC边上的点，且EF//BC.

的值为          ；直线与直线的位置关系为             ；

类比延伸

如图，若将图中的绕点顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；

拓展运用

若，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长.

Answer

； ； ；（3）或

【解析】

（1）①根据直角三角形30°角的性质即可解决问题；

②根据已知可直接得出答案；

（2）只要证明△ACF∼△BCE，根据相似三角形的性质即可得的值，也可得∠BCE=∠CAF，继而推导即可得；

（3）分两种情况画出图形分别解决即可.

①∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，EF//AB，

∴∠CFE=∠A=30°，

∴CF==EC，AC==BC，

∴AF=AC-CF=BC-EC=（BC-EC）=BE，

∴=，

故答案为：；

②∵∠ACB=90°，

∴，即直线与直线的位置关系为垂直，

故答案为：；

，

理由如下：由及旋转的性质知，，

在中，，

在中，，

，又，

，，

∴=

，

，

如图，延长交于点，交于点，

，，

，，

，，

即；

①如图，∵△ECB∽△FCA，∴AF：BE=CF：CE=，

设BE=a，则AF=a，

∵B、E、F共线，∴∠BEC=∠AFC=120°，

∵∠EFC=30°，∴∠AFB=90°，

在Rt△ABF中，AB=2BC=6，AF=a，BF=EF+BE=4+a，

∴，

∴a=-1+或-1-（舍去），

∴AF=a=；

②如图，当E、B、F共线时，同法可证：AF=BE，∠AFB=90°，

在Rt△ABF中，，

∴a=1+或1-（舍去），

∴AF=a=，

综上，AF的长为或.