Question

如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：①D′B的最小值为3；②当DE＝时，△ABD′是等腰三角形；③当DE＝2是，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）

Answer

①②④

【解析】

当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，此时D′B＝AB﹣AD＝3，得出①正确；

过D′作MN⊥AB交AB于点N，交CD于点M，设AN＝x，则EM＝x﹣2.5，证出∠ED′M＝∠D′AN，因此△EMD′∽△D′NA，得出对应边成比例，求出x＝4，得出AN＝BN，因此AD′＝D′B，得出②正确；

当DE＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E、D′、B在一条直线上，作EF⊥AB于点F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③不正确；

当AD′＝D′B时，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出④正确．

当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，如图1所示：

此时D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，

∴①正确；

过D′作MN⊥AB交AB于点N，交CD于点M，如图2所示：

设AN＝x，则EM＝x﹣2.5，

∵∠AD′N＝∠DAD′，∠ED′M＝180°﹣∠AD′E﹣∠AD′N＝180°﹣90°﹣∠AD′N＝90°﹣∠AD′N，

∴∠ED′M＝90°﹣∠DAD′，

∵∠D′AN＝90°﹣∠DAD′，

∴∠ED′M＝∠D′AN，

∵MN⊥AB，

∴∠EMD′＝∠AND′，

∴△EMD′∽△D′NA，

∴，

即，

解得：x＝4，

∴AN＝BN，

∴AD′＝D′B，

即△ABD′是等腰三角形，

∴②正确；

当DE＝2时，假设△ABD′是直角三角形，

则E、D′、B在一条直线上，

作EF⊥AB于点F，如图3所示：

D′B＝=,EB=，

∵≠

∴③不正确；

当AD′＝D′B时，52+52≠82，

∴△ABD′不是直角三角形，

当△ABD′是直角三角形时，D′B＝=，

∴AD′≠D′B，

∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，

∴④正确；

故答案为：①②④．