Question

如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于二象限内的A点和四象限内的B点，与x轴将于点C，连接AO，已知AO＝2，tan∠AOC＝，点B的坐标为（a，﹣4）．

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

（3）求△AOB的面积．

Answer

（1）y＝﹣，y＝﹣x﹣2；（2）﹣4＜x＜0或x＞2；（3）S△AOB＝6．

【解析】

（1）先根据AO＝2，tan∠AOC＝求得点A的坐标，代入反比例函数解析式求得m的值，继而得出点B的坐标，根据点A、B坐标可得一次函数解析式；

（2）由函数图象找到直线位于双曲线下方所对应的x的范围即可得；

（3）先求得点C坐标，再根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解可得．

（1）如图，作AD⊥x轴于点D，

∵tan∠AOC＝=，

∴设AD＝a、则OD＝2a，

∴AO＝，

则a＝2，

∴AD＝2、OD＝4，

则点A坐标为（﹣4，2），

将点A坐标代入y＝，得：m＝﹣8，

∴反比例函数解析式为y＝﹣，

将点B（a，﹣4）代入y＝﹣，得：a＝2，

∴B（2，﹣4），

将点A、B坐标代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

则一次函数解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）由函数图象知当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值；

（3）在y＝﹣x﹣2中当y＝0时，﹣x﹣2＝0，

解得：x＝﹣2，

∴OC＝2，

S△AOB＝S△AOC+S△BOC

＝OC•AD+OC•BE

＝×2×2+×2×4

＝2+4

＝6．