Question

如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABDC的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BC A′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为3或7．其中正确的是(         )

A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③

Answer

A

【解析】

①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；

②根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；

③连结A′D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD≌△A′BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D∥BC；

④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．

①∵AB=CD=5，AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABDC的面积=2×5=10；故①正确；

②∵四边形ABDC是平行四边形，

∵A′与D重合时，

∴AC=CD，

∵四边形ABDC是平行四边形，

∴四边形ABDC是菱形；故②正确；

③连结A′D，如图，

∵△ABC沿BC折叠得到△A′BC，

∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，

在△A′CD和△A′BD中

，

∴△A′CD≌△A′BD（SSS），

∴∠3=∠4，

又∵∠1=∠CBA=∠2，

∴∠1+∠2=∠3+∠4，

∴∠1=∠4，

∴A′D∥BC，

∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；

④设矩形的边长分别为a，b，

当∠CBD=90°，

∵四边形ABDC是平行四边形，

∴∠BCA=90°，

∴S△A′CB=S△ABC=×2×5=5，

∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，

而BA′=BA=5，

∴a2+b2=25，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，

∴a+b=3，

当∠BCD=90°时，

∵四边形ABDC是平行四边形，

∴∠CBA=90°，

∴BC=3，

而CD=5，

∴（a+b）2=（2+5）2=49，

∴a+b=7，

∴此矩形相邻两边之和为或7．故④正确．

故选A．