Question

已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1).

（1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标.

（2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.

①求∠P′B B′的大小.

②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标.

Answer

（1），顶点坐标；（2）①，②当时，点的坐标为或.

【解析】

（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)即可求出m，得出顶点坐标

，连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为，得,HB=1，P’B=2

求出, 得,故可得的度数

②根据题意作出图形，根据旋转的性质与，解得三角形的高；故设或分别代入即可求出N的坐标.

（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入得解得

∴抛物线的关系式为：

得y=-(x-1)2；

∴顶点坐标为.

（2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得，（舍去）；

∴，得顶点

连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为，得,HB=1，P’B==2

∵,

∴,

∴.

②∵,即,

∴;

∵线段以点为旋转中心顺时针旋转，点落在点处;

∴,

∴轴，;

设在边上的高为，得：，解得；

∴设或分别代入得解得：或∴或，方程无实数根舍去，

∴综上所述：当时，点的坐标为或.