Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，AB=20cm，动点D由点C向点A以每秒1 cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D，点E从点C同时出发，运动t秒(t>0)，联结DE.

（1）求证：△DCE∽△BCA．

（2）设经过点D、C、E三点的圆为⊙P.

①当⊙P与边AB相切时，求t的值.

②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），联结CP 并延长CP交边AB于点M，当△PFM与△CDE相似时，求t的值.

Answer

（1）见解析；（2）①；②当与相似时，或.

【解析】

（1）由题意得：，由，，利用勾股定理求得，由；得出，又，则∽．

（2）①连结并延长交于点，利用直角三角形的斜边中线得出为中点，，得出，利用∽，得出, 再利用角的等量替换得出 ，即，故⊙P与边相切，利用三角函数求出DE,CE即可求出t；②由题意得解得,由①得,，，故,，,再根据相似三角形分情况讨论即可求解.

（1）证明：由题意得：，∵，，；

∴，∵；

∴

又∵

∴∽．

（2）①连结并延长交于点，

∵，

∴DE是⊙的直径

即为中点，

∴.

∴，∵∽，∴,

∵,∴

∴；

∵⊙P与边相切，

∴点为切点， 为⊙的直径，

∵解得，∴

得即.

②由题意得解得,由①得,，

∴,，,

∵

∴由与相似可得：

情况一：得解得：； 0＜≤9

情况二：得解得：； 0＜≤9

∴综上所述：当与相似时. 或