Question

如图(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG． 

（1）试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论；

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后(0°＜α＜90°)，如图(2)，通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； 

（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α (0°＜α＜360°)过程中，当BG为最小值时，求AF的值．

Answer

（1）相等且垂直；（2）成立，见解析；（3）.

【解析】

（1）首先利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出DG=DE，AD=BD，进而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延长EA分别交DG、BG于点N、M两点，首先证明△BDG≌△ADE，进而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大，进而求出即可．

【解析】
（1）如图（1）

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延长EA到BG于一点M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴线段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，
如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；
∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，
∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图（3），

若BC=DE=m，则AD=，EF=m，

在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2=

∴AF=，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=.