Question

如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．

（1）求证：EG是⊙O的切线；

（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半径．

Answer

(1)见解析；（2）⊙O半径为.

【解析】

(1)根据∠ABG=2∠C ，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得(2)由三角函数求出BE、CE的长，再用勾股定理求BC的长即可求长半径的长.

证明（1）如图：连接OE，BE，

∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A.

∴∠C=∠A，

∴BC=AB，

∵BC是直径，

∴∠CEB=90°，且AB=BC，

∴CE=AE，且CO=OB，

∴OE∥AB，

∵GE⊥AB，

∴EG⊥OE，且OE是半径，

∴EG是⊙O的切线，

（2）∵AC=8，

∴CE=AE=4，

∵tan∠C=.

∴BE=2，

∴BC=.

∴CO=.

即⊙O半径为.