Question

如图，已知抛物线（＞0）与轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与轴交于点C。

（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；

（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交轴交于点E，若AE:ED＝1:4，求的值.

       

Answer

（1）；（2）点P的坐标为 ；（3）.

【解析】

（1）利用三角形相似可求AO•OB，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n；

（2）求出B、C坐标，设出点Q坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q点坐标；

（3）设出点D坐标（a，b），利用相似表示OA，再由一元二次方程根与系数关系表示OB，得到点B坐标，进而找到b与a关系，代入抛物线求a、n即可．

（1）若△ABC为直角三角形

∴△AOC∽△COB

∴OC2=AO•OB

当y=0时，0=x2-x-n

由一元二次方程根与系数关系

-OA•OB=OC2

n2=＝−2n

解得n=0（舍去）或n=2

∴抛物线解析式为y=；

（2）由（1）当=0时

解得x1=-1，x2=4

∴OA=1，OB=4

∴B（4，0），C（0，-2）

∵抛物线对称轴为直线x=-＝−

∴设点Q坐标为（，b）

由平行四边形性质可知

当BQ、CP为平行四边形对角线时，点P坐标为（，b+2）

代入y=x2-x-2

解得b=，则P点坐标为（，）

当CQ、PB为为平行四边形对角线时，点P坐标为（-，b-2）

代入y=x2-x-2

解得b=，则P坐标为（-，）

综上点P坐标为（，），（-，）；

（3）设点D坐标为（a，b）

∵AE：ED=1：4

则OE=b，OA=a

∵AD∥AB

∴△AEO∽△BCO

∵OC=n

∴

∴OB=

由一元二次方程根与系数关系得，

∴b=a2

将点A（-a，0），D（a，a2）代入y=x2-x-n

解得a=6或a=0（舍去）

则n= .