Question

如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，C是⊙O上一点，D是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连接AD．

(1)求证：AF⊥EF

(2)填空：

①当BE=________时，点C是AF的中点.

②当BE=________时，四边形OBDC是菱形．

Answer

（1）证明见解析；（2）①6，②3

【解析】

试题（1）连结OD，由直线EF与 O相切于点D，得到OD⊥EF，由同圆的半径相等推出∠1=∠3，由点D为的中点，得到∠1=∠2，证得∠2=∠3，得到OD∥AF，得出结论AF⊥EF；（2）①根据平行线分线段成比例定理，当B为的AE中点时，点C是AF的中点；②由切线的性质可证得OD⊥EF，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BD=OB=BE,

由D是的中点，得到CD=BD, 由此CD=BD=BO=OD,

试题解析：

(1)证明：连结OD，

∵直线EF与O相切于点D，

∴OD⊥EF，

∵OA=OD，

∴∠1=∠3，

∵点D为BCˆ的中点，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OD∥AF，

∴AF⊥EF；

(2) ①当BE=6时，

由（1）知，BC∥EF,当AB=BE ,AC=CF,

∴BE=6时,点C是AF的中点，

故答案为：6；

②当BE=3时，

∵AB是⊙O的直径,AB=6，

∴OB=OD=OC=BE=3，

∵ED是⊙O的切线,

∴OD⊥EF,

∴BD=OB=BE,

D是的中点,

∴CD=BD,

∴CD=BD=BO=OD,

四边形OBDC是菱形.

故答案为：3.