Question

如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（-2，0），B（8，0），连接AC，BC．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为，点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）存在点，使，点的坐标为或

【解析】

（1）把A、B两点的坐标代入，解方程组即可得到抛物线的解析式，令x=0求出y的值，即可得到C的坐标；

（2）如图，过点D作DF//y轴，交BC于F点，则∠DFE=∠BCO，由勾股定理，得到BC的长，由正弦的定义得到DE=DF⋅sin∠DFE=DF⋅sin∠BCO=DF．

求出直线BC的解析式．设，则，得到DF，由DE=DF，配方即可得出结论；

（3）如图，连接PC，PB，PA交OC于M，作PN⊥x轴于N交CB于F．设P（m，），则F（m，），分两种情况讨论：①若P在x轴上方，表示出PF的长，得到=．由相似三角形的判定与性质得到AO：AN=OM：PN，进而得出OM，CM的长，得到=．由，解方程即可得出点P的坐标．

②当P在x轴下方时，类似可得点P的坐标．

（1）把A（-2，0），B（8，0）分别代入y=ax2+bx+4中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；

令x=0，得y=4，∴点C的坐标为（0，4）．

（2）如图，过点D作DF//y轴，交BC于F点，则∠DFE=∠BCO，C（0，4），B（8，0），∴OC=4，OB=8．

在RtΔOBC中，由勾股定理，得：BC= ，∴sin∠BCO=，∴在RtΔDEF中，DE=DF⋅sin∠DFE=DF⋅sin∠BCO=DF．

设直线BC的解析式为y=kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为；

设，则，∴DF=，∴DE=DF

∵，∴当m=4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，6）．

（3）如图，连接PC，PB，PA交OC于M，作PN⊥x轴于N交CB于F．设P（m，），则F（m，），分两种情况讨论：①若P在x轴上方，∴PF=，==．

∵AO=2，ON=m，∴AN=m+2．

∵MO∥PN，∴△AOM∽△ANP，∴AO：AN=OM：PN，∴2：（m+2）=OM：，∴OM=，∴CM=CO－OM==，∴==．

∵，∴．

∵m≠0，∴m=6．当m=6时，=4，∴点P的坐标为（6，4）．

②当P在x轴下方时，类似可得：．

∵m≠0，∴m=．当m=时，=；∴点P的坐标为．

综上所述：存在点P，使，点P的坐标为（6，4）或．