Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点G为AC中点，连结BG．CE⊥BG于F，交AB于E，连接GE．点H为AB中点，连接FH．以下结论：（1）∠ACE＝∠ABG；（2）∠AGE＝∠CGB：（3）若AB＝10，则BF＝4；（4）FH平分∠BFE；（5）S_△BGC＝3S_△CGE．其中正确结论的个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

D

【解析】

如图，作AP⊥AC交CE的延长线于P，连接CH．构造全等三角形，证明△CAP≌△BCG（ASA），△EAG≌△EAP（SAS），即可判断（2）（5）正确，利用相似三角形的判定与性质可以证明（4）正确，解直角三角形可以判定（3）正确．

如图，作AP⊥AC交CE的延长线于P，连接CH．

∵CE⊥BG，

∴∠CFB=∠ACB=90°．

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBG．

∵BG是△ABC的中线，AB＞BC，

∴BG不是∠ACB的角平分线,

∴∠ABG≠∠CBG，

∴∠ACE≠∠ABG，故（1）错误．

∵∠ACP=∠CBG，AC=BC，∠CAP=∠BCG=90°，

∴△CAP≌△BCG（ASA），

∴CG=PA=AG，∠BGC=∠P．

∵AG=AP，∠EAG=∠EAP=45°，AE=AE，

∴△EAG≌△EAP（SAS），

∴∠AGE=∠P，

∴∠AGE=∠CGB，故（2）正确．

∵AB=10，△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC=10，

∴AG=CG=5，

∴BG

•CG•CB•CF，

∴CF=2，

∴BF，故（3）正确．

∵CA=CB，∠ACB=90°，AH=HB，

∴∠BCH=∠ACH=45°．

∵∠CFB=∠CHB=90°，∠COF=∠BOH，

∴△COF∽△BOH，

∴CO：OF=BO：OH．

∵∠COB=∠FOH，

∴△COB∽△FOH，

∴∠HFB=∠BCH=45°，

∴∠EFH=∠HFB=45°，

∴FH平分∠BFE，故（4）正确．

∵AG=GC，

∴S△CGE=S△AEG．

∵△AEG≌△AEP，

∴S△AEG=S△AEP，

∴S△GCES△ACP．

∵△CAP≌△CBG，

∴S△ACP=S△CBG，

∴S△BGC=3S△CGE．故（5）正确．

故选D．