Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于E，CD＝AB，DA、BC延长线交于F．

（1）若AC＝12，∠ABC＝30°，求DE的长；

（2）若BC＝2AC，求证：DA＝FC．

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，∠ABC=30°，可求得AB，BC的长，再在Rt△CEB中，求得CE的长，进而得出DE的长；

（2）作FH垂直CD交DC的延长线于点H，利用tan∠CFH=tan∠ACE=tan∠CBA，可设AE=a，CE=2a，CH=m，FH=2m，根据△DEA∽△DHF得出m=a，再利用勾股定理可得出DAFC．

Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，∠ABC=30°，

∴CD=AB=24，BC=12．

∵CD⊥AB于E，

∴CEBC=6，

∴DE=CD﹣CE=24﹣6．

（2）如图，作FH垂直CD交DC的延长线于点H．

∵∠ACB=90°，BC=2AC，

∴tan∠CBA．

∵CD⊥AB于E，

∴∠CFH=∠ACE=∠CBA，

∴设AE=a，CE=2a，CH=m，FH=2m，

∴BE=4a，AB=a+4a=5a，

∴DC=AB=5a，

∴DE=3a．

∵AE∥FH，

∴△DEA∽△DHF，

∴，∴m=a．

∵DA，FC，

∴DAFC．