Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+与直线AC：y＝+8交于点A，直线AB分别交x轴、y轴于B、E，直线AC分别交x轴、y轴于点C、D．

（1）求点A的坐标；

（2）在y轴左侧作直线FG∥y轴，分别交直线AB、直线AC于点F、G，当FG＝3DE时，过点G作直线GH⊥y轴于点H，在直线GH上找一点P，使|PF﹣PO|的值最大，求出P点的坐标及|PF﹣PO|的最大值；

（3）将一个45°角的顶点Q放在x轴上，使其角的一边经过A点，另一边交直线AC于点R，当△AQR为等腰直角三角形时，请直接写出点R的坐标．

Answer

（1）（﹣2，7）；（2）（，4），；（3）①（5，），②（﹣9，）或（5，）或（12，14）或（﹣，）．

【解析】

（1）联立，解得：，故点A的坐标为（﹣2，7）；

（2）当F、P、O三点共线时，|PF﹣PO|的值最大，即可求解；

（3）△AQR为等腰直角三角形，有如下图所示的两种情况，①AQ⊥AC，②当R'Q'⊥AC，分别求解即可．

（1）联立，解得：，故点A的坐标为（﹣2，7）；

（2）由题意得：点E、D、B、C的坐标分别为（0，）、（0，8）、（，0）、（﹣16，0）．

过点A作MN∥x轴，分别交FG、DE于点M、N，则：AN=2．

∵FG∥DE，

∴△AFG∽△AED，∴3，则AM=6，

∴点M的横坐标为：﹣8，

则点F、G的坐标分别为（﹣8，）、（﹣8，4），

在y轴上找到点O关于直线GH的对称点O'（0，8），

连接FO'并延长，交直线GH于点P，此时，|PF﹣PO|的值最大，最大值为PO'，

直线O'F的表达式为：yx+8，

当y=4时，x，即点P坐标为（，4），|PF﹣PO|=FO'，故：点P坐标为（，4），|PF﹣PO|；

（3）△AQR为等腰直角三角形，有如下图所示的两种情况：

①当AQ⊥AC，当点R在点A下方时，

∴直线AQ的表达式为：y=﹣2x+b，将点A坐标代入得：7=﹣2×（﹣2）+b，解得：b=3，故：直线AQ的表达式为：y=﹣2x+3，则点Q坐标为（，0），过点A作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，围成矩形GMQH，∠GAR+∠QAH=90°，∠QAH+∠AQH=90°，

∴∠AQH=∠GAR，∠AGR=∠QHA=90°，AR=AQ，

∴△AGR≌△QHA（AAS），

∴HQ=GA=7，GR=AH=2，OM=2+GA=9，

∴RM=7．

故点R的坐标为（﹣9，），当点R在点A上方时，同理可得点R坐标为（5，）；

②当R'Q'⊥AC时，同理，点R'的坐标为（12，14）或（﹣16，0）．

综上所述：点R的坐标为（﹣9，）或（5，）或（12，14）或（）．