Question

已知抛物线y=–x²+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD,PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？   （   ）

A. 始终相似 B. 始终不相似 C. 只有AB=AD时相似 D. 无法确定

Answer

A

【解析】

先求出P点坐标，得到OP的长，再设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，再表示出OD，OF，PF，AF，然后根据△PEF∽△PDO，利用相似三角形的性质列式求出EF，再利用勾股定理表示出PA2，PE，PD，从而得到，再根据相似三角形的判定定理即可得证.

【解析】
令x=0，则y=1，

∴OP=1，

设A（m，﹣m2+1），即AD=﹣m2+1，

∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，

∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=m2，

在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，

在Rt△POD中，PD=，

由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，

∴，

即，

解得PE=m2，

∴PA2=PD·PE= m4+m2，

∴，

∵∠APE=∠DPA，

∴△PAD∽△PEA，

则△PAD与△PEA始终相似.

故选A.