Question

如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S_△APF＋S_△BPE＋S_△PCD＝，那么△ABC的内切圆半径为___ 

Answer

【解析】

过P点作正△ABC的三边的平行线，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，则可得黑色部分的面积=白色部分的面积，进而求出三角形ABC的面积，然后求出等边三角形的边长和高，再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半径的长度．

如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，

则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，

四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝，

∴S△ABC=，
∵S△ABC=AB2sin60°=，
∴AB=6，

∴三角形ABC的高h=3，
则△ABC的内切圆半径r=h=．

故答案为：.