Question

如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论。

（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF。

【解析】

（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论。

（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF。

【解析】
（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。

又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF。∴∠1=∠2。

∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，

∵在△ADE与△BFE中，，

∴△ADE≌△BFE（AAS）。

（2）CE⊥DF。理由如下：

如图，连接CE，

由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2。

∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3。∴∠3=∠2。

∴CD=CF。∴CE⊥DF。