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如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为M,对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(...

如图,抛物线yx2bxc的顶点为M,对称轴是直线x1,与x轴的交点为A(30)B.将抛物线yx2bxc绕点B逆时针方向旋转90°,点M1A1为点MA旋转后的对应点,旋转后的抛物线与y轴相交于CD两点.

(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式:

(2)求证AMA1三点在同一直线上:

(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点,是否存在一点P,使四边形PM1MD的面积最大.如果存在,请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积;如果不存在,请说明理由.

 

(1)(2)见试题解析;(3)∴点P的坐标为(,-7)使四边形PM1MD的面积最大,面积最大值为 【解析】 试题(1)根据抛物线的对称性即可写出B的坐标,根据对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(-3,0)代入即可得到方程组,解方程组即可求出b、c的值,即可得到答案; (2)把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标,根据旋转和图象即可求出M1、A1的坐标,设直线AM的表达式为y=kx+m,把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式,根据以此函数图象上点的坐标特征确定点A1在直线AM上即可得到结论; (3)连接M1D,如图,由于S△M1MD是定值,则要使四边形PM1MD的面积最大,只要S△M1PD最大,将△M1PD绕点B顺时针旋转90°,则点M1与点M重合,点P与点Q重合,点D与点F重合,利用旋转变换得点F的坐标为(-5,5),设点Q的坐标为(m,),易得直线MF的表达式为y=,则根据三角形面积公式得到S△PDM1=S△QMF=(-)×(5+1)=,根据二次函数的性质得当m=-2时,当m=-2时,S△M1PD最大=,则点Q(-2,-),利用旋转变换得点P的坐标为(,-7),然后计算S△DM1M的面积=24,再计算出四边形PM1MD的面积为24+=. 试题(1)【解析】 ∵点B与点A(-3,0)关于直线x=1对称, ∴点B的坐标为(5,0),与x轴的交点为A(-3,0)代入即可得到方程组,解得; (2)点M1的坐标为(9,-4),点A1的坐标为(5,-8),设直线AM的表达式为y=kx+m,把A(-3,0),M(1,-4)代入解得,直线AM的解析式为y=-x-3,当x=5代入y=-x-3=-8,∴点A1在直线AM上,∴∠AMA1=180°; (3)【解析】 存在点P使四边形PM1MD的面积最大. 连接M1D,如图,∵S△M1MD是定值,∴要使四边形PM1MD的面积最大,只要S△M1PD最大,将△M1PD绕点B顺时针旋转90°,则点M1与点M重合,点P与点Q重合,点D与点F重合,则点Q,F都在抛物线y=上,由于F点的纵坐标为5,当y=5时,解得x1=-5,x2=7(舍去),∴点F的坐标为(-5,5),设点Q的坐标为(m,)易得直线MF的表达式为y= ∴S△PDM1=S△QMF== 当m=-2时,S△M1PD最大=∴点Q(-2,∴点P的坐标为(,-7), ∵点M的坐标为(1,-4),点M1的坐标为(9,-4),D(0,-10), ∴S△DM1M的面积=24,∴四边形PM1MD的面积为24+=,∴点P的坐标为(,-7)使四边形PM1MD的面积最大,面积最大值为.
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探究一:将以上两个三角形如图拼接(BC和ED重合),在BC边上有一动点P.

(1)当点P运动到CFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长;

(2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求PAB的度数.

探究二:如图,将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转DEF,使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点,连接MN.在旋转DEF的过程中,AMN的周长是否存在有最小值?若存在,求出它的最小值;若不存在,请说明理由.

 

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1)公司共改装了多少辆出租车?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少?

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如图,已知在ABC中,∠A=90°

⑴请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心PAC边上,且与ABBC两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明);

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(本小题满分10分)

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(1)试用列表或画树状图的方法列举出所有点的情形;

(2)分别求出点在两个反比例函数的图象上的概率,并说明谁的观点正确。

 

 

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