Question

如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S_{四边形AOBO′}=6+4；⑤S_△AOC+S_△AOB=6+，其中正确的结论是（　　）

A. ①②③⑤    B. ①②③④    C. ①②④⑤    D. ①②③④⑤

Answer

D

【解析】

证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；

由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故结论④错误．

如图，

由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图，连接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′=OB=4．

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A=5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故结论④正确；

将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置

同理可得S△AOC+S△AOB=6+

故⑤正确

故选D．