Question

如图，已知∠A=∠D=90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．求证：

（1）AF=DE

（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；

（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB=∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．

证明：（1）∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABF与△DCE都为直角三角形，

在Rt△ABF和Rt△DCE中，

，

∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），

∴AF=DE；

（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），

∴∠AFB=∠DEC，

∴OE=OF，

∵OP⊥EF，

∴OP平分∠EOF．