Question

问题的提出:

如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小?

问题的转化:

(1)把ΔAPC绕点A逆时针旋转60度得到连接这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了,请你利用如图证明:

；

问题的解决:

(2)当点P到锐角△ABC的三项点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置:_____________________________；

问题的延伸：

(3)如图是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.

Answer

（1）证明见解析；（2）∠APB=∠APC=120°；（3）．

【解析】

（1）问题的转化：

根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，则PP'=PA，可得结论；

（2）问题的解决：

运用类比的思想，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，确定当：∠APB=∠APC=120°时，满足三点共线；

（3）问题的延伸：

如图3，作辅助线，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．

问题的转化：

如图1，

由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，

∴△APP'是等边三角形，

∴PP'=PA，

∵PC=P'C，

∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．

问题的解决：

满足：∠APB=∠APC=120°时，PA+PB+PC的值为最小；

理由是：如图2，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，

由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，

∵∠APB=120°，∠APP'=60°，

∴∠APB+∠APP'=180°，

∴B、P、P'在同一直线上，

由旋转得：∠AP'C'=∠APC=120°，

∵∠AP'P=60°，

∴∠AP'C'+∠AP'P=180°，

∴P、P'、C'在同一直线上，

∴B、P、P'、C'在同一直线上，

∴此时PA+PB+PC的值为最小，

故答案为：∠APB=∠APC=120°；

问题的延伸：

如图3，

Rt△ACB中，∵AB=2，∠ABC=30°，

∴AC=1，BC=，

把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，

当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，

由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，

∴△BPP′是等边三角形，

∴PP'=PB，

∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，

∴∠ABC'=90°，

由勾股定理得：AC'=，

∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，

则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．