Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝_____．

Answer

1或3

【解析】

根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AOB的度数，根据同角的余角相等可得∠BAO=∠CBF，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，得BE=CF=2，分情况讨论，证明四边形MBCN是平行四边形，则BM=CN，根据两图形可得BM的长．

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC．

∵AE⊥BF，

∴∠AOB＝∠BAO+∠ABO＝90°，

∵∠ABO+∠CBF＝90°，

∴∠BAO＝∠CBF．

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE＝CF＝2，

∵MN∥BC，AB∥CD，

∴四边形MBCN是平行四边形，

∴BM＝CN，

①当N在F的上方时，如图1，

∴BM＝CN＝CF+FN＝2+1＝3，

②当N在F的下方时，如图2，

∴BM＝CN＝CF﹣FN＝2﹣1＝1，

∴BM的长为1或3，

故答案为：1或3