Question

如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点且与轴平行的直线与直线，分别交于点，，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

（3）当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）点的坐标是；（3）满足条件的点有两个，坐标分别是或.

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF=∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

【解析】
（1）把点，的坐标代入，

得，解得.

∴抛物线的解析式是.

（2）∵轴，，

由，解得，（舍），

∴.

设直线的解析式是，

由，解得.

则直线的解析式是.

设点的坐标为，

则点的坐标为，.

∵，，

∴

.

又∵，

则当时，四边形的面积的最大值是，

此时点的坐标是.

（3）由，得顶点的坐标是，此时，，

则在中，，∴.

同理可求，∴，

∴在直线上存在满足条件的，如图或.

可求，，，

①当时，设，

由，得，解得.

②当，设，

由，得，解得.

综上，满足条件的点有两个，坐标分别是或.