Question

已知二次函数y=ax²+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），与y轴交于点B．点D为二次函数图象的顶点．

（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：

（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m，0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP；

（3）在图①中，若R为y轴上的一个动点，连接AR，则BR+AR的最小值______（直接写出结果）．

Answer

（1）y=-x2+2x+3；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据A，C点的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的关系式；

（2）利用待定系数法求出线段AB，AD所在直线的函数关系式，用m表示EF，EP的长，可证得结论；

（3）连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q，则△BQR∽△AOB，利用相似三角形的性质可得出RQ=BR，结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+BR=AQ时，其值最小，由∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC可得出△CQA∽△COB，利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解．

【解析】
（1）将A（3，0），C（-1，0）代入y=ax2+bx+3，得：

，解得： ，

∴此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3．

（2）证明：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴点D的坐标为（1，4）．

设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c（k≠0），

将A（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：

，解得：，

∴线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3．

同理，可得出：线段AD所在直线的函数关系式为y=-2x+6．

∵点P的坐标为（m，0），

∴点E的坐标为（m，-m+3），点F的坐标为（m，-2m+6），

∴EP=-m+3，EF=-m+3，

∴EF=EP．

（3）如图③，连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q．

∵OC=1，OB=3，

∴BC=．(勾股定理)

∵∠CBO=∠CBO，∠BOC=∠BQR=90°，

∴△BQR∽△AOB，

∴ ,即,

∴RQ=BR，

∴AR+BR=AR+RQ，

∴当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+BR=AQ时，其值最小．

∵∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC，

∴△CQA∽△COB，

∴,即

∴AQ=，

∴BR+CR的最小值为．

故答案为：．