Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-2x+8交y轴于点A，交x轴于点B，以AB为底作等腰三角形△ABC的顶点C恰好落在y轴上，连接BC，直线x=2交AB于点D，交BC于点E，交x轴于点G，连接CD．

（1）求证：∠OCB=2∠CBA；

（2）求点C的坐标和直线BC的解析式；

（3）求△DEB的面积；

（4）在x轴上存在一点P使PD-PC最长，请直接写出点P的坐标．

Answer

(1)证明见解析；（2）C（0，3），直线BC解析式为y=-x+3；（3）；（4）P（-6，0）．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质和外角的性质可证得结论；

（2）可先求得A、B的坐标，则可求得OA=8、OB=4，在设OC=x，则AC=BC=8-x，在Rt△OBC中由勾股定理可列方程，可求得OC的长，则可求得点C的坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；

（3）由直线AB、BC的解析式可分别求得点D、E的坐标，则可求得DE的长，可求得△DEB的面积；

（4）利用三角形三边关系可知PD-PC＜CD，当P、D、C三点在一条线上时，则有PD-PC=CD，此时其差最长，延长CD交x轴于点P，则该点即为P点，由C、D的坐标可求得直线CD的解析式，则可求得点P的坐标．

（1）证明：

∵△ABC为等腰三角形，

∴∠CAB=∠CBA，∠OCB为外角，

∴∠OCB=∠CAB+∠CBA，

∴∠OCB=2∠CBA；

（2）在y=-2x+8中，令x=0可得y=8，令y=0可求得x=4，

∴A（0，8），B（4，0），

∴OA=8，OB=4，

设OC=x，则AC=BC=8-x，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC2=OC2+OB2，

即（8-x）2=x2+42，解得x=3，

∴C（0，3），

设直线BC解析式为y=kx+b，

把B、C点的坐标代入可得

，解得，

∴直线BC解析式为y=-x+3；

（3）直线x=2交AB于点D，交BC于点E，交x轴于点G，

∴D（2，4），E（2，），G（2，0），

∴DE=4-=，且B（4，0），

∴BG=4-2=2，

∴S△DEB=DE•BG=××2=；

（4）∵PD-PC＜CD，

∴当P、D、C三点在一条线上时，则有PD-PC=CD，此时其差最长，

延长CD交x轴于点P，则该点即为P点，

设直线CD解析式为y=mx+n，

把C、D坐标代入可得，解得，

∴直线CD解析式为y=x+3，

令y=0可得x+3=0，解得x=-6，

∴P（-6，0）．