Question

已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．

Answer

AB＝3．

【解析】

作DE⊥AC，BF⊥AC，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得，进而得到∠DAC＝∠CAB＝60°，在Rt△ADE中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE＝2，AE＝2，再由Rt△DEC中，根据勾股定理求出DC的长，在△BFC和△ABF中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF的长，然后根据求出的两个结果，由AB＝2AF，分类讨论求出AB的长即可.

作DE⊥AC，BF⊥AC，

∵BC＝CD，

∴，

∴∠CAB＝∠DAC，

∵∠DAB＝120°，

∴∠DAC＝∠CAB＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEA＝∠DEC＝90°，

∴sin60°＝，cos60°＝，

∴DE＝2，AE＝2，

∵AC＝7，

∴CE＝5，

∴DC＝，

∴BC＝，

∵BF⊥AC，

∴∠BFA＝∠BFC＝90°，

∴tan60°＝，BF2+CF2＝BC2，

∴BF＝AF，

∴，

∴AF＝2或AF＝，

∵cos60°＝，

∴AB＝2AF，

当AF＝2时，AB＝2AF＝4，

∴AB＝AD，

∵DC＝BC，AC＝AC，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠ADC＝∠ABC，

∵ABCD是圆内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

但AC2＝49，，

AC2≠AD2+DC2，

∴AB＝4（不合题意，舍去），

当AF＝时，AB＝2AF＝3，

∴AB＝3．