Question

已知二次函数y＝2x²+4x+k﹣1．

（1）当二次函数的图象与x轴有交点时，求k的取值范围；

（2）若A（x₁，0）与B（x₂，0）是二次函数图象上的两个点，且当x＝x₁+x₂时，y＝﹣6，求二次函数的解析式，并在所提供的坐标系中画出大致图象；

（3）在（2）的条件下，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y＝x+m（m＜3）与新图象有两个公共点，且m为整数时，求m的值．

Answer

（1）k≤3；（2）y＝2x2+4x﹣6，函数图象见解析；（3）m＝1或0．

【解析】

（1）根据根的判别式△=b2-4ac和交点的个数可直接求解；

（2）根据题意求出函数经过的点（-2，-6），然后代入函数的解析式即可求出k的值，从而得到函数的解析式，画出图像；

（3）根据题意画出翻折后的图形，根据图形求出两个交点时的图像位置，求出m的即可.

（1）根据题意知b2﹣4ac＝16﹣8（k﹣1）≥0，

解得：k≤3；

（2）由题意知，

∴x1+x2＝﹣2，

∴抛物线过点（﹣2，﹣6），

将（﹣2，﹣6）代入y＝2x2+4x+k﹣1，得：8﹣8+k﹣1＝﹣6，

解得：k＝﹣5，

则抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6，

其函数图象如下：

（3）如图所示，∵m＜3，

∴当直线过（1，0）时，直线y＝x+m与新图象有1个交点，

此时+m＝0，即m＝-；

当直线过（-3，0）时，直线y＝x+m与新图象有3个交点，

此时+m＝0，即m＝；

结合图形知﹣＜m＜，

∵m为整数，

∴m＝1或0．