Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．

①求证：AG＝GD；

②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？

③若AB＝10，sin∠ABD＝，求BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；（3）BC的长为．

【解析】

（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是的直径，根据垂径定理，即可得到，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；

（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；

（3）利用三角函数先求出tan∠ABD，cos∠ABD＝，再求出DF、BF，然后即可求出BC.

（1）证明：连接AD，

∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴，

∴∠ADE＝∠ABD，

∵弦BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵∠DBC＝∠DAC，

∴∠ADE＝∠DAC，

∴AG＝GD；

（2）【解析】
当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．

理由：∵弦BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABD＝30°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，

∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，

∵DE⊥AB，

∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，

∴△DGF是等边三角形；

（3）【解析】
∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，

∵AB＝10，sin∠ABD＝，

∴在Rt△ABD中，AD＝AB•sin∠ABD＝6，

∴BD＝＝8，

∴tan∠ABD＝，cos∠ABD＝，

在Rt△ADF中，DF＝AD•tan∠DAF＝AD•tan∠ABD＝6×＝，

∴BF＝BD﹣DF＝8﹣＝，

∴在Rt△BCF中，BC＝BF•cos∠DBC＝BF•cos∠ABD＝×＝．

∴BC的长为：．