Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点 A(−1，a)，B(3，a)，且顶点的纵坐标为 -4．

（1）求 m，n 和 a 的值；

（2）记二次函数图象在点 A，B 间的部分为 G (含 点A和点B )，若直线 与 图象G 有公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．

Answer

（1），a=0； (2)当k ≤− 或k≥2时，直线 y=kx+2 与 G 有公共点．

【解析】

（1）根据A和B的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可求出m，n和a的值；；
（2）当直线与G有公共点时，可以分别计算直线经过点A和B时的k的值，根据图象可得结论．

（1）∵ 抛物线过点A(−1,a)， B(3,a)，

∴抛物线的对称轴x=1．

∵抛物线最低点的纵坐标为−4，

∴抛物线的顶点是(1,−4)．

∴抛物线的表达式是，

即．

m=−2，n=−3，

把A(−1,a)代入抛物线表达式，

求得a=0．

(2) 如图，

当y=kx+2经过点B(3,0)时， 0=3k+2， k=−，

当y=kx+2经过点A(−1,0)时， 0=−k+2， k=2，

综上所述，当k ≤−或k≥2时，直线y=kx+2与G有公共点．