Question

如图1所示，灯A的射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．

(1)填空：∠BAN=       °；

(2)若灯B的射线先转动30秒，灯A的射线才开始转动，在灯B的射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行?

(3)如图2,若两灯同时转动,在灯A的射线到达AN之前.若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

Answer

60

【解析】

（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t=1•（30+t），可得 t=30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t-180）=180，可得t=110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t-120°，∠BCD=120°-∠BCA=t-60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．

（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°×=60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•（30+t）+（2t-180）=180，
解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°-2t，
∴∠BAC=60°-（180°-2t）=2t-120°，
又∵∠ABC=120°-t，
∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，而∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-t）=t-60°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．