Question

如图，直线CB∥OA，∠C=∠A=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．

（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

Answer

（1）30°；（2）1：2；（3）45°．

【解析】

（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠AOC，代入数据即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOA，从而得到∠OBC=∠FOB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFC=2∠OBC，从而得解；
（3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．

（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°-∠C=180°-120°=60°．

∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，∴∠EOB=∠AOC=×60°=30°；

（2）∠OBC：∠OFC的值不会发生变化，为1：2．

∵CB∥OA，∴∠OBC=∠BOA．

∵∠FOB=∠AOB，∴∠OBC=∠FOB，∴∠OFC=∠OBC+∠FOB=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2；

（3）当平行移动AB至∠OBA=45°时，∠OEC=∠OBA．

设∠AOB=x．

∵CB∥AO，∴∠CBO=∠AOB=x．

∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+30°，∠OBA=180°-∠A-∠AOB=180°-120°-x=60°-x，∴x+30°=60°-x，∴x=15°，∴∠OEC=∠OBA=60°-15°=45°．