Question

如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点

（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；

（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．

Answer

（1）y=（x+2）（x﹣4），D的坐标是（﹣1，﹣5）；（2）P（，﹣）；（3）点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可；

（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE═﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；

（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可．

【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），

∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），

将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，

解得a=1，

∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．

联立方程组：，

解得（舍去）或，

即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；

（2）如图所示：

过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．

∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．

∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE•（xp﹣xD）+PE••（xB﹣xE）=PE•（xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．

∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．

∴P（，﹣）．

（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．

∵B（4，0），

∴OB=OK=4．

∴∠OKB=∠OBK=45°．

∵QF⊥x轴，

∴∠DQG=45°．

若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．

①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，

∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，

∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，

∴Q1（2，﹣2）．

②当∠DGQ=90°，则DH=QH．

∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，

∴Q2（3，﹣1）．

综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．