Question

如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP并延长，交BC于点Q．连接DP．将△ADP绕点A顺时针旋转90°至△ABP'．连结PP'，若AP=1，PB=2，PD=，则正方形的边长为（　　）

A.

B.

C.

D.

Answer

D

【解析】

过点B作BM⊥AQ于点M，由折叠的性质可得DP=P'B=2，AP=AP'=1，∠PAP'=90°，由勾股定理和勾股定理的逆定理可求PP'=，∠APP'=45°，∠BPP'=90°，即可求∠BPM=180°-∠BPP'-∠APP'=45°，由勾股定理可求AB的长．

过点B作BM⊥AQ于点M，

∵将△ADP绕点A顺时针旋转90°至△ABP'，

∴DP=P'B=2，AP=AP'=1，∠PAP'=90°，

∴PP'=，∠APP'=45°，

∵P'P2+PB2=2+8=10，P'B2=10，

∴P'P2+PB2=P'B2，

∴∠BPP'=90°，

∴∠BPM=180°-∠BPP'-∠APP'=45°，

∵BM⊥AQ，

∴∠BMP=90°，

∴∠PBM=90°-∠BPQ==45°，PM2+BM2=PB2，

∴∠PBM=∠BPM，

∴PM=BM，

又∵PB=2，PM2+BM2=PB2，

∴PM=BM=2，

∴AM=AP+PM=3，

∴AB=，

故选D．