Question

如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，=，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．

（1）求反比例函数的解析式及点E的坐标；

（2）连接BC，求S_△CEB．

（3）若在x轴上的有两点M（m，0）N（-m，0）．

①以E、M、C、N为顶点的四边形能否为矩形？如果能求出m的值，如果不能说明理由．

②若将直线OA绕O点旋转，仍与y=交于C、E，能否构成以E、M、C、N为顶点的四边形为菱形，如果能求出m的值，如果不能说明理由．

Answer

（1）反比例函数的解析式为：y=；E（-4，-3）；（2）24；（3）①m=5或-5．②以E、M、C、N为顶点的四边形不能为菱形．

【解析】

（1）根据已知条件可求A、D的坐标，用待定系数法即求出反比例函数解析式；由点A坐标求直线OA的解析式，把直线OA与反比例函数解析式联立方程组，即求出交点E；

（2）把△CEB分成△COB与△EOB，以OB为公共底，点C和点E纵坐标的绝对值为高即求出三角形面积；

（3）先由OC=OE，OM=ON得四边形EMCN为平行四边形．①若为矩形，则对角线相等，即MN=CE，易求出m的值；②若为菱形，则对角线互相垂直，但CE不与x轴垂直，矛盾，故不能成为菱形．

本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数的综合运用，平行四边形、矩形、菱形的判定．

（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于B，

∴AB=6，

∵，

∴OB=8，

∴A（8，6），D（8，），

∵点D在反比例函数y=的图象上，

∴k=8×=12，

∴反比例函数的解析式为：y=，

设直线OA的解析式为：y=bx，

∴8b=6，解得：b=，

∴直线OA的解析式为：y=x，

     解得：，   ，

∴E（-4，-3）；

（2）由（1）可知C（4，3），E（-4，-3），B（8，0），

∴S△CEB=S△COB+S△EOB==OB（yC+|yE|）=×8×（3+3）=24；

（3）①以E、M、C、N为顶点的四边形能为矩形，

∵M（m，0），N（-m，0），

∴OM=ON，

∵OC=OE，

∴四边形EMCN是平行四边形，

当MN=CE=2OC=2×=10时，▱EMCN为矩形，

∴OM=ON=5，

∴m=5或-5；

②∵CE所在直线OA不可能与x轴垂直，即CE不能与MN垂直，

∴以E、M、C、N为顶点的四边形不能为菱形．