Question

如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

在如图中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到如图的位置，

①判断△PMN的形状，并说明理由；

②求∠MPN的度数；

（3）拓展延伸

若△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=12，点DE分别在边AB，AC上，AD=AE=4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图．

①△PMN的是______三角形．

②直接利用①中的结论，求△PMN面积的最大值．

Answer

（1）PM=PN，120°．（2）①△PMN是等腰三角形．证明见解析；②120°．（3）①等腰直角；②32.

【解析】

（1）结论：PM=PN，120°．利用三角形的中位线定理即可解决问题；

（2）①如图2中，连接BD、EC．证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=EC，再利用三角形中位线定理即可解决问题；

②利用三角形的外角以及平行线的性质即可解决问题；

（3）①由（2）可知：△PMN是等腰直角三角形；

②因为PM=PN=BD，推出BD最大时，PM最大，△PMN面积最大．

（1）结论：PM=PN，120°．

理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

∵AD=AE，

∴BD=EC，

∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，

∴PM=EC，PN=BD，PM∥AC，PN∥AB，

∴PM=PN，∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠B=60°，

∵∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠PNC=120°，

故答案为PM=PN，120°；

（2）如图2中，连接BD、EC，

①∵∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∵BA=CA，DA=EA，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，

∴PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，

∴PN=PM，

∴△PMN是等腰三角形；

②∵PN∥BD，PM∥EC，

∴∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，

∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+∠PNC+∠DCB=∠ECD+∠DCB+∠DBC=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC=∠ABD+∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°；

（3）①△PMN是等腰直角三角形；

②∵PM=PN=BD，

∴BD最大时，PM最大，△PMN面积最大，

∴点D在BA的延长线上，

∴BD=AB+AD=16，∴PM=8，∴S△PMN最大=PM2=×82=32．