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如图,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接D...

如图,已知ABC为等边三角形,点DE分别在边ABAC上,AD=AE,连接DC,点MPN分别为DEDCBC的中点.

1)观察猜想

在如图中,线段PMPN的数量关系是______,∠MPN的度数是______

2)探究证明

ADE绕点A逆时针方向旋转到如图的位置,

①判断PMN的形状,并说明理由;

②求∠MPN的度数;

3)拓展延伸

ABC为直角三角形,∠BAC=90°AB=AC=12,点DE分别在边ABAC上,AD=AE=4,连接DC,点MPN分别为DEDCBC的中点.把ADE绕点A在平面内自由旋转,如图.

PMN的是______三角形.

②直接利用①中的结论,求PMN面积的最大值.

 

(1)PM=PN,120°.(2)①△PMN是等腰三角形.证明见解析;②120°.(3)①等腰直角;②32. 【解析】 (1)结论:PM=PN,120°.利用三角形的中位线定理即可解决问题; (2)①如图2中,连接BD、EC.证明△BAD≌△CAE(SAS),可得BD=EC,再利用三角形中位线定理即可解决问题; ②利用三角形的外角以及平行线的性质即可解决问题; (3)①由(2)可知:△PMN是等腰直角三角形; ②因为PM=PN=BD,推出BD最大时,PM最大,△PMN面积最大. (1)结论:PM=PN,120°. 理由:如图1中,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC, ∵AD=AE, ∴BD=EC, ∵点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点, ∴PM=EC,PN=BD,PM∥AC,PN∥AB, ∴PM=PN,∠MPD=∠ACD,∠PNC=∠B=60°, ∵∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠PNC=120°, 故答案为PM=PN,120°; (2)如图2中,连接BD、EC, ①∵∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAD=∠CAE, ∵BA=CA,DA=EA, ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE, ∵点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点, ∴PN∥BD,PM∥EC,PN=BD,PM=CE, ∴PN=PM, ∴△PMN是等腰三角形; ②∵PN∥BD,PM∥EC, ∴∠PNC=∠DBC,∠DPM=∠A=ECD, ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+∠PNC+∠DCB=∠ECD+∠DCB+∠DBC=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC=∠ABD+∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°; (3)①△PMN是等腰直角三角形; ②∵PM=PN=BD, ∴BD最大时,PM最大,△PMN面积最大, ∴点D在BA的延长线上, ∴BD=AB+AD=16,∴PM=8,∴S△PMN最大=PM2=×82=32.
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考点分析:
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如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a6),ABx轴于点B=,反比例函数y=的图象的一支分别交AOAB于点CD.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E.已知点D的纵坐标为

1)求反比例函数的解析式及点E的坐标;

2)连接BC,求SCEB

3)若在x轴上的有两点Mm0N-m0).

①以EMCN为顶点的四边形能否为矩形?如果能求出m的值,如果不能说明理由.

②若将直线OAO点旋转,仍与y=交于CE,能否构成以EMCN为顶点的四边形为菱形,如果能求出m的值,如果不能说明理由.

 

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观察下列式子,并探索它们的规律:

=1-

=

=

1)试用正整数n表示这个规律,并加以证明;

2)试计算+…的值.

 

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已知反比例函数y=,(k为常数,k≠1).

1)若点A12)在这个函数的图象上,求k的值;

2)若在这个函数图象的每一分支上,yx的增大而增大,求k的取值范围;

3)若k=13,试判断点B34),C25)是否在这个函数的图象上,并说明理由.

 

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中央电视台的朗读者节目激发了同学们的读书热情,为了引导学生多读书,读好书,某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查,整理调查结果发现,学生课外阅读的本书最少的有5本,最多的有8本,并根据调查结果绘制了不完整的图表,如图所示:

本数(本)

频数(人数)

频率

5

a

0.2

6

18

0.36

7

14

b

8

8

0.16

合计

c

1

 

1)统计表中的a=______b=______c=______

2)请将频数分布表直方图补充完整;

3)求所有被调查学生课外阅读的平均本数;

4)若该校八年级共有1200名学生,请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数.

 

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某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用10000元购进这种衬衫,面市后果然供不应求.于是,商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但单价贵了4元,商厦销售这种衬衫时每件预定售价都是58元.

1)求这种衬衫原进价为每件多少元?

2)经过一段时间销售,根据市场饱和情况,商厦经理决定对剩余的100件衬衫进行打折销售,以提高回款速度,要使这两批衬衫的总利润不少于8600元,最多可以打几折?

 

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