Question

如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为_____．

Answer

或9

【解析】

当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=15，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点 A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB=EF，AB=AF=9，可计算出CF=6，设BE=x，则EF=x，CE=12-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在AD边上时，如图2所示．此时四边形ABEF为正方形，易得BE．

【解析】
当△CEF为直角三角形时，有两种情况：

①当点F落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，

∴AC==15，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，

∴∠AFE=∠B=90°，

当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，

∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，

∴EB=EF，AB=AF=9，

∴CF=15-9=6，

设BE=x，则EF=x，CE=12-x，

在Rt△CEF中，

∵EF2+CF2=CE2，

∴x2+62=（12-x）2，

解得x=，

∴BE=；

②当点F落在AD边上时，如图2所示．

此时ABEF为正方形，

∴BE=AB=9．

综上所述，BE的长为或9．

故答案为或9．