Question

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝8，BC＝6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．

(1)AM＝　   　，AP＝　   　．(用含t的代数式表示)

(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值

(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，

①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

②使四边形AQMK为正方形，则AC＝　   　．

Answer

（1）8﹣2t；2+t；（2）2；（3）①存在时刻t=1，使四边形AQMK为菱形．理由详见解析；②8．

【解析】

试题（1）由DM=2t，根据AM=AD-DM即可求出AM=6-2t；先证明四边形CNPD为矩形，得出DP=CN=4-t，则AP=AD-DP=2+t；

（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，可得4-t=6-（6=4-t），解方程即可；

（3））①由NP⊥AD，QP=PK，可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程4-t-2t=6-（4-t），求解即可，

②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=6，利用勾股定理求得AC即可．

试题解析：（1）6﹣2t，2+t．

（2）∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，

∴4﹣t=t+2，解得t=1，

（3）①∵NP⊥AD，QP=PK，

∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，

∴4﹣t﹣2t=2+t，解得t=0.5，

∴存在时刻t=0.5，使四边形AQMK为菱形.

②AC=6．